Ljubljanski mostovi

Danes vas peljem na potovanje: iz Ljubljane v Varšavo, nato še severneje v Kalingrad in nazaj v Ljubljano, kjer bo končno postalo jasno, zakaj je naslov objave Ljubljanski mostovi. Vse se da narediti na krajši in kompaktnejši način, a to ni programerska koda, ki je lažje berljiva, če njene funkcije kirurško natančno zapišemo. Pa tudi jaz nisem taka oseba. Jaz potrebujem zgodbo, potrebujem like in življenjske zaplete. Zato, prosim za nekaj potrpežljivosti. ✌️

Torej, zgodba se začne doma. Že vse svoje življenje sem Ljubljančanka in ta naziv mi je v veselje. Ljubljana mi je zelo drago mesto, kljub temu pa rada veliko časa preživim tudi v tujini. Tako sem si med dvomesečnem bivanju v Varšavi (dobro nam gre, smo že na 2. točki ☺️) ogledovala bližnje kraje, primerne za krajša potovanja, ko sem presenečeno ugotovila, da je Rusija pravzaprav razbita na dva dela!! In sicer, en manjši del je od Rusije popolnoma ločen. Nahaja se med Baltskim morjem, Poljsko in Litvo. Da pridejo ruski državljani iz te eksklave (državno območje, ki je z vseh strani obdan s tujimi državami) do matere Rusije morajo prečkati dve državi! (Podobno je razbita tudi Hrvaška, le da eksklava z Dubrovnikom od preostale Hrvaške ni tako oddaljena.)

Torej, v tej ruski eksklavi, katere “prestolnica” je Kalingrad (saj veš, tista bela laž – smo že skoraj na cilju 🤥), se je v 18. stoletju med meščani pojavil problem. Resen problem. Reka Pregel, ki teče skozi mesto, ima namreč takšno strugo, da sta tekom stoletij nastala  dve otoka, ki sta del središča Kalingrada. Prebivalci so si, seveda, zgradili mostove, s katerimi so si olajšali transport z enega konca mesta na drugega. Problem je sledeč: ali obstaja pot čez vse mostove, pri čemer gremo čez vsak most le enkrat? (Pri tem, seveda, ne štejemo možnosti kot so skok z mostu in plavanje do obale, hoja po slackline-u ali dvig s helikopterjem ter podobno).

Predstavljam si, da problem, ki je nastal, ni zrastel na zelniku nadelohitočih ljudi, ampak med nedeljskimi sprehajalci. Kakorkoli že, problem je zahteval rešitev, saj nobenemu še tako zagretemu in brihtnemu zakonskemu paru na večernem sprehodu ni uspelo najti takšne poti.

(Zdaj pride tisti zoprn del, ko se matematiki naredimo pomembne. Nenavdušenci nad matematiko, prosim vas, ne obupajte nad manej! 🙏)

Leta 1736 je briljanten matematik Leonard Euler dokončno podal odgovor. Bil je negativen. Torej, ne, takšna pot ne obstaja. Hkrati pa je z načinom, kako je prišel do odgovora, postavil temelje za področje matematike, ki se imenuje Teorija grafov in tako poskrbel za kar nekaj zaposlitvenih mest. Bravo, Euler!

Pa me je tako, sredi posedanja na domačem kavču v središču Ljubljane (yeeess, uspelo nam je 🤩), prešinila misel: Pa saj Ljubljana tudi leži na otoku! Grubar in njegov prekop, ki Ljubljanico na Špici razdeli na dve strugi, sta zaslužna, da je Ljubljanski grad z vseh strani obdan z reko. In tako sem se, v imenu vseh ljubljanskih sprehajalcev, lotila postavljanja enakega problema za ljubljanske mostove (no, bodimo matematično rigidni: za tiste mostove, ki ležijo med razcepom in sotočjem obeh strug Ljubljanice).

Vprašanje je sledeče:

Ali se da na sprehodu prečkati vse ljubljanske mostove, pri čemer prečkamo vsakega le enkrat?

In sem šla na sprehod. 😊 Izkazalo se je, da je 18 mostov (modra) čez izvorno strugo in 9 mostov (rdeče) čez Grubarjev prekop.

LjMostovi-vsi

Foto guardada

Na levi strani je slika, s katero si matematiki pomagajo pri iskanju odgovora. (To so tisti, ki delajo Teorijo grafov in so za službo hvaležni Eulerju.) Po navadi sicer ne uporabljajo barv, razen če je med mostovi kakšna razlika (na primer most je enosmeren). Tukaj sem povezave pobarvala tako kot prestavljajo mostove z zgornje slike.
In do česa so prišli matematiki? Ugotovili so, da se odgovor pravzaprav skriva v lihosti in sodosti. Iz levega brega (kjer stoji Prešern) gremo lahko na “otok” preko 18 mostov (sodo). Iz otoka gremo lahko na levi in desni breg, kar je skupaj 27 možnosti (liho). Z desnega brega Grubarjevega prekopa pa gremo nazaj na “otok” le preko 9 mostov (liho).

Ker sta samo dve točki z liho možnosti (“otok” in desni breg), je sprehod čez vse mostove možen. Zakaj? To je pač nekaj, kar so matematiki ugotovili in dokazala, a se v podrobnosti tukaj zaenkrat ne bomo spuščali. Ugotovili so še, da je sprehod možen, če imamo na vseh bregovih in otokih samo sodo mostov.

Dejstvo, ki so ga matematiki odkrili:

  • Če imamo na vseh bregovih in otokih sodo mostov, potem je tak sprehod možen.
  • Če imamo na vseh bregovih in otokih sodo mosto RAZEN na dveh, kjer je liho mostov, je tak sprehod možen.
  • V vseh ostalih primerih, tak sprehod ni možen.

Če si želimo življenje še zakomplicirati, se lahko vprašamo še, ali lahko sprehod začnemo in končamo na isti točki. Tudi to so se vprašali matematiki in prišli do odgovora, da v tem primeru mora biti na vseh otokih in bregovih samo sodo število. Zato v ljubljanskem primeru to ni možno. Raziskala sem tudi, ali je možno, če se omejimo le na center Ljubljane ali pa samo na mostove, preko katerih gremo lahko z avtom. A v obeh primerih je odgovor negativen.

LjMostovi-center

Levi breg ima 13 mostov, “otok” 17 mostov in desni breg G. p. pa 4 mostove.

LjMostovi-vsi-samoAvti

Levi breg ima 8 mostov, “otok” 13 mostov in desni breg G.p. pa 5 mostove.

Potovanje je zaključeno. Bila je dolga pot, a upam, da je bilo vredno. To, kar so matematiki odkrili zaradi Kalingradskih mostov, lahko trenirate tudi tu ali tu. 🤓

Advertisements

Four dimesional cube in Paris

GrandeArche2Have you ever been in Paris? I am still in love with Paris even though it has been more than a few years since my first and only visit to Paris. You can only image my excitement, when I learnt that behind one of the monuments I visited is math. This monument in question is Arche de la Défense (left).

Nadaljujte z branjem

Fraktali kot enost z vesoljem

Povezava med matematiko in duhovnostjo se vam mogoče zdi čudna, skoraj nemogoča. Od kar sem se poglobila v raziskovanje le-te, sem našla nekaj duhovnih naukov, ki jih lahko predstavimo z matematičnim konceptom. Enega od teh lahko najdete v objavi Kako z matematiko predstaviti reinkarnacijo? Tretnutno hodim na vodeno meditacijo in na enem od srečanj smo se med drugimi temami pogovarjali tudi o enosti z vesoljem/Bogom/življenjem — kakor koli temu rečemo.

Če gledamo izven sebe, sebe po navadi dojemamo kot del neke večje celote, kar nam da občutek, da nismo popolni/celi. Z meditacijo pa lahko dojamemo, da se v nas samih skriva celotno vesolje/življenje/Bog. Torej, nismo nepopolni, v sebi imamo vse, le da smo na to pozabili in meditacija je način, kako to ponovno odkrijemo.

Ta razprava me je spomnila na matematično množico, ki ji rečemo fraktal. Gre za množico, ki jo ustvarimo s ponavljanjem enega in istega pravila v neskončnost. Meni najljubši fraktal je narisan na zgornji sliki. Da se ga ustvariti s šestilom. Nekateri fraktali pa so taki, da so sestavljeni iz kosov, ki so enaki celoti. Če torej “zoomiramo” v takšen kos, vidimo isto kot če bi gledali celoten fraktal. Dva taka primera vidite spodaj. Pravimo jim samopodobni fraktali.

Če se sedaj navežem nazaj na nauk o naši popolnosti … mi smo del vesolja, a hkrati tudi mi vsebujemo celotno vesolje.

koch

Nariši srce!

Ko sem prišla s faksa, oborožena z mnogimi enačbami in matematičnimi koncepti, si nisem predstavljala, da se lahko nekaterih tem, ki smo jih delali na faksu, dotaknem z risanjem. Potem pa sem odkrila string art! String art je umetnost, kjer z ravnimi črtami (z vrvjo, zavezano za dva količka) ustvarimo zanimive oblike. In glej ga, zlomka, ustvarimo lahko tudi kardioido (moj logotip) oziroma srček. 🙂 Risanje je primerno tudi za otroke. Sem preverila v šoli, kjer učim. Otroci mi najprej niso verjeli, nato pa so bili navdušeni, ko so v množici črt prepoznali srček.

Ko smo na faksu obravnavali teorijo, ki stoju v ozadju, sem mi je zelo dopadla in mi je bilo žal, ker je bilo vse samo teoretično. Kdo bi si mislil, da bom eno leto po zaključku faksa iz tega delala biznis! 🙂

Navodila, kako lahko tudi sami ustvarite svojo kardioido z risanjem ravnih črt, lahko najdete v priloženi pdf datoteki (Narisi srce). Upam, da vas bo navdušilo enako kot je mene.

kardioida-viola

Več primerov string arta še sledi. 🙂

Živa linija — razstava Waldorfske šole

Prejšnji vikend sem se popolnoma brez načrta sprehala po središču Ljubljane in v Mestni hiši naletela na razstavo Živa linija, ki jo je organizirala Waldorfska šola v Ljubljani. Priporočam ogled, saj je prikazano, kako lahko k učenju določenih delov matematike pristopimo skozi umetnost.

Zgodovinski atrij ljubljanske Mestne hiše
29.9. – 10.10.2014
Razstavljene so risbe učencev Waldorfske šole Ljubljana, starih 3 do 18 let.

Povezava do Facebook dogodka: https://www.facebook.com/events/712111502200196